在物理学中，曲线运动是指物体沿着弯曲路径移动的现象。这种运动形式广泛存在于自然界和工程应用中，例如行星绕太阳运行、抛体运动等。为了描述曲线运动的规律，我们需要借助一些基本的数学公式。

首先，让我们考虑一个质点在平面内进行曲线运动的情况。假设该质点的位置随时间变化可以用矢量函数表示为 \(\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}\)，其中 \(x(t)\) 和 \(y(t)\) 分别是质点在两个坐标轴上的位置分量，而 \(\hat{i}\) 和 \(\hat{j}\) 是对应的单位向量。

质点的速度 \(\vec{v}(t)\) 可以通过位置矢量对时间求导得到：

\[

\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{dx(t)}{dt}\hat{i} + \frac{dy(t)}{dt}\hat{j}.

\]

进一步地，加速度 \(\vec{a}(t)\) 则是速度矢量关于时间的变化率：

\[

\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2x(t)}{dt^2}\hat{i} + \frac{d^2y(t)}{dt^2}\hat{j}.

\]

对于匀速圆周运动（即半径恒定且速率不变的曲线运动），我们还可以引入角速度 \(\omega\) 和向心加速度的概念。若质点沿半径为 \(R\) 的圆周运动，则其角速度定义为单位时间内转过的角度，即 \(\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}\)；而向心加速度的大小则由公式 \(a_c = \frac{v^2}{R}\) 给出，方向始终指向圆心。

此外，在处理更复杂的三维曲线运动时，可以使用参数方程来表达质点的位置，比如螺旋线运动可表示为：

\[

\begin{cases}

x(t) = R\cos(\omega t), \\

y(t) = R\sin(\omega t), \\

z(t) = vt,

\end{cases}

\]

其中 \(R\) 为螺旋线的半径，\(v\) 为沿轴方向的速度。

以上便是曲线运动的一些基础公式及其应用实例。这些公式不仅帮助我们理解自然界中的各种现象，也为工程技术提供了重要的理论支持。