在物理学和工程学中，转动惯量是一个重要的概念，它描述了物体绕某一轴旋转时抵抗改变其旋转状态的能力。计算转动惯量的方法多种多样，其中利用重积分是一种常见且有效的方式。本文将详细介绍如何通过重积分来求解转动惯量，并结合具体例题进行说明。
转动惯量的基本公式
对于一个质量分布均匀的刚体，其绕某固定轴的转动惯量 \( I \) 可以表示为：
\[
I = \int_V r^2 \, dm
\]
其中，\( r \) 是质点到转轴的距离，\( dm \) 是质量元，\( V \) 表示物体的体积区域。如果质量密度函数已知，则可以进一步写成：
\[
I = \int_V r^2 \rho(x, y, z) \, dV
\]
这里，\( \rho(x, y, z) \) 是空间中的质量密度分布函数。
重积分的应用步骤
1. 确定坐标系：选择合适的直角坐标系或极坐标系，使得积分表达式尽可能简单。
2. 设定质量密度函数：根据问题给出的质量分布情况，写出质量密度函数 \( \rho(x, y, z) \)。
3. 建立积分区域：明确物体的几何形状及其边界条件，从而确定积分变量的范围。
4. 代入公式并计算：将上述信息代入转动惯量公式，逐步完成多重积分运算。
典型例题解析
例题1：均匀圆盘绕中心轴的转动惯量
假设有一块半径为 \( R \)，厚度为 \( h \)，密度为常数 \( \rho \) 的均匀圆盘，求其绕中心轴的转动惯量。
- 分析：由于圆盘对称，取柱坐标系更为方便。设圆盘位于 \( z=0 \) 平面上，中心位于原点。
- 质量密度函数：因为是均匀圆盘，所以 \( \rho(r, \theta, z) = \rho_0 \)，其中 \( \rho_0 \) 是常数。
- 积分区域：圆盘的半径范围为 \( 0 \leq r \leq R \)，角度范围为 \( 0 \leq \theta < 2\pi \)，高度范围为 \( -h/2 \leq z \leq h/2 \)。
- 转动惯量计算：
\[
I = \int_0^{2\pi} \int_0^R \int_{-h/2}^{h/2} r^2 \rho_0 \, dz \, dr \, d\theta
\]
先对 \( z \) 积分得：
\[
\int_{-h/2}^{h/2} dz = h
\]
再对 \( \theta \) 积分得：
\[
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
\]
最后对 \( r \) 积分得：
\[
\int_0^R r^2 \, dr = \frac{R^3}{3}
\]
因此，最终结果为：
\[
I = \rho_0 \cdot 2\pi \cdot h \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{1}{2} M R^2
\]
其中 \( M = \rho_0 \cdot \pi R^2 \cdot h \) 是圆盘的总质量。
例题2：矩形板绕边缘轴的转动惯量
考虑一块长方形薄板，边长分别为 \( a \) 和 \( b \)，密度为常数 \( \rho \)，求其绕一条短边（长度为 \( b \)）的转动惯量。
- 分析：采用直角坐标系，设长边方向为 \( x \)，短边方向为 \( y \)，高度方向为 \( z \)。
- 质量密度函数：\( \rho(x, y, z) = \rho_0 \)。
- 积分区域：\( 0 \leq x \leq a \)，\( 0 \leq y \leq b \)，\( z=0 \)。
- 转动惯量计算：
\[
I = \int_0^b \int_0^a \int_0^0 y^2 \rho_0 \, dz \, dx \, dy
\]
注意到 \( z \) 范围为零，故此积分简化为平面问题：
\[
I = \rho_0 \int_0^b y^2 \, dy \int_0^a dx
\]
分别计算得到：
\[
\int_0^a dx = a, \quad \int_0^b y^2 \, dy = \frac{b^3}{3}
\]
因此：
\[
I = \rho_0 \cdot a \cdot \frac{b^3}{3} = \frac{1}{3} M b^2
\]
其中 \( M = \rho_0 \cdot a \cdot b \) 是矩形板的总质量。
总结
通过重积分方法计算转动惯量的关键在于正确选取坐标系、合理设定质量密度函数以及准确划定积分区域。以上两道例题展示了不同几何形状下应用重积分的具体过程，希望读者能够从中获得启发并灵活运用这一工具解决实际问题。
