【导数的除法运算法则】在微积分的学习过程中，导数的运算法则是基础且重要的内容。其中，导数的除法运算法则用于求解两个函数相除后的导数。掌握这一法则，有助于我们更高效地处理复杂的函数求导问题。
一、导数的除法运算法则概述
当有两个可导函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $，且 $ v(x) \neq 0 $ 时，它们的商 $ \frac{u(x)}{v(x)} $ 的导数可以用以下公式计算：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
该公式也被称为“商法则”，其核心思想是：分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
二、导数的除法运算法则总结
| 项目 | 内容 |
| 法则名称 | 商法则（导数的除法运算法则） |
| 公式表达 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 使用条件 | $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均为可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $ |
| 适用范围 | 求两个函数相除后的导数 |
| 计算步骤 | 1. 分别求出 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 的导数； 2. 代入公式进行计算； 3. 化简结果。 |
| 注意事项 | 分母不能为零，否则无法求导； 注意符号，避免出现计算错误； 若分子或分母为常数，需特别处理。 |
三、示例解析
例题： 求函数 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。
解：
设 $ u(x) = x^2 + 1 $，$ v(x) = x - 1 $
- $ u'(x) = 2x $
- $ v'(x) = 1 $
根据商法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}
$$
展开并化简：
$$
f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
$$
四、小结
导数的除法运算法则（即商法则）是微积分中常用的工具之一，尤其在处理分数形式的函数时非常有用。通过掌握这一法则，可以简化求导过程，提高运算效率。同时，在实际应用中需要注意分母不为零的条件，并仔细检查计算过程中的符号和代数运算是否正确。
关键词： 导数、除法法则、商法则、微积分、函数求导
