【概率论与数理统计公式总结】概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的数学分支，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术和经济管理等领域。为了便于理解和记忆，本文对概率论与数理统计中的重要公式进行系统性总结，并以表格形式展示。
一、基本概念与公式
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 随机事件 | A, B, C | 表示可能发生或不发生的事件 |
| 样本空间 | Ω | 所有可能结果的集合 |
| 事件的概率 | P(A) | 事件A发生的可能性，0 ≤ P(A) ≤ 1 |
| 对立事件 | A' | A不发生的事件，P(A') = 1 - P(A) |
| 互斥事件 | A ∩ B = ∅ | 两个事件不能同时发生 |
| 独立事件 | P(A ∩ B) = P(A)P(B) | 一个事件的发生不影响另一个事件的概率 |
二、概率的基本性质
| 性质 | 公式 | 说明 | |||
| 非负性 | P(A) ≥ 0 | 概率非负 | |||
| 规范性 | P(Ω) = 1 | 样本空间的概率为1 | |||
| 可加性 | 若A与B互斥，则P(A ∪ B) = P(A) + P(B) | 互斥事件的概率可相加 | |||
| 加法公式 | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) | 任意两事件的概率和减去交集概率 | |||
| 条件概率 | P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) > 0 | 在B发生的条件下A发生的概率 | ||
| 全概率公式 | P(A) = ΣP(B_i)P(A | B_i) | 若{B_i}是完备事件组 | ||
| 贝叶斯公式 | P(B_i | A) = [P(B_i)P(A | B_i)] / ΣP(B_j)P(A | B_j) | 已知A发生时求B_i的概率 |
三、随机变量及其分布
| 类型 | 分布名称 | 概率函数/密度函数 | 数学期望 | 方差 |
| 离散型 | 二项分布 | P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} | np | np(1-p) |
| 离散型 | 泊松分布 | P(X=k) = λ^k e^{-λ}/k! | λ | λ |
| 连续型 | 正态分布 | f(x) = (1/√(2πσ²))e^{-(x-μ)^2/(2σ²)} | μ | σ² |
| 连续型 | 均匀分布 | f(x) = 1/(b-a), a ≤ x ≤ b | (a+b)/2 | (b-a)^2/12 |
| 连续型 | 指数分布 | f(x) = λe^{-λx}, x ≥ 0 | 1/λ | 1/λ² |
四、数字特征
| 特征 | 公式 | 说明 |
| 数学期望（均值） | E(X) = ∫xf(x)dx 或 ΣxP(X=x) | 随机变量的平均值 |
| 方差 | Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X²) - [E(X)]² | 衡量数据的离散程度 |
| 协方差 | Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] | 衡量两变量之间的线性关系 |
| 相关系数 | ρ_{XY} = Cov(X,Y) / [σ_X σ_Y] | 衡量两变量的相关性强弱，范围[-1,1] |
五、大数定律与中心极限定理
| 定理 | 内容 |
| 大数定律 | 当样本容量n增大时，样本均值依概率收敛于总体均值 |
| 中心极限定理 | 若X₁,X₂,…,Xₙ独立同分布，且E(X)=μ，Var(X)=σ²，则当n较大时，(X̄ - μ)/(σ/√n)近似服从N(0,1) |
六、参数估计
| 类型 | 方法 | 公式 | 说明 |
| 点估计 | 矩估计 | 用样本矩估计总体矩 | 例如：用样本均值估计总体均值 |
| 点估计 | 最大似然估计 | 使似然函数最大化的参数值 | 适用于常见分布如正态、泊松等 |
| 区间估计 | 置信区间 | 例如：μ ∈ (X̄ - zα/2 σ/√n, X̄ + zα/2 σ/√n) | 给出一个区间，包含真实参数的概率 |
七、假设检验
| 检验类型 | 检验统计量 | 检验方法 | 说明 |
| Z检验 | Z = (X̄ - μ_0)/(σ/√n) | 用于大样本或已知方差的情况 | |
| t检验 | t = (X̄ - μ_0)/(s/√n) | 用于小样本且未知方差的情况 | |
| χ²检验 | χ² = Σ[(O_i - E_i)^2 / E_i] | 用于检验分类变量的独立性或拟合优度 | |
| F检验 | F = s₁²/s₂² | 用于比较两个正态总体的方差 |
通过以上总结，我们可以系统地掌握概率论与数理统计中的核心公式和概念，为后续的学习与应用打下坚实的基础。
