【期望与方差公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量分布特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均取值水平，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望与方差相关公式的总结。
一、期望（Expected Value）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为对应的概率。
1. 离散型随机变量的期望：
设离散型随机变量 $ X $ 的取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望：
设连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则其期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
二、方差（Variance）
方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的波动性。
1. 方差的定义：
$$
Var(X) = E\left[(X - E(X))^2\right
$$
也可以简化为：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差：
$$
Var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差：
$$
Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx
$$
三、常见分布的期望与方差公式
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
四、期望与方差的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 方差的线性变换：
$$
Var(aX + b) = a^2 Var(X)
$$
3. 独立变量的方差：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则：
$$
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
$$
通过掌握这些基本公式和性质，可以更深入地理解随机变量的统计特性，并在实际问题中进行合理的建模与分析。
