在数学分析中，求导是一个非常基础且重要的操作，它能够帮助我们了解函数的变化趋势和性质。今天我们来探讨一个常见的三角函数——正切函数 \( \tan x \) 的求导过程。

首先回顾一下正切函数的定义：

\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

为了求其导数，我们可以利用商数法则（Quotient Rule）。商数法则表述如下：若 \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \)，则

\[ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]

在这里，令 \( g(x) = \sin x \) 和 \( h(x) = \cos x \)。我们知道：

- \( g'(x) = \cos x \)

- \( h'(x) = -\sin x \)

代入商数法则：

\[ (\tan x)' = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2} \]

\[ (\tan x)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]

根据三角恒等式 \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)，上式可简化为：

\[ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \]

注意到 \( \frac{1}{\cos^2 x} \) 是另一个常用的三角函数——正割平方函数 \( \sec^2 x \)。因此，最终结果为：

\[ (\tan x)' = \sec^2 x \]

总结一下，正切函数 \( \tan x \) 的导数是 \( \sec^2 x \)。这一结论在微积分中有着广泛的应用，特别是在处理与三角函数相关的积分和微分方程时。

希望这个推导过程能帮助大家更好地理解正切函数的求导方法！如果还有其他疑问，欢迎继续交流。